2023.06.30 - [수학 공부 기록] - [대수학] 1. Introduction and Examples
[대수학] 1. Introduction and Examples
2023.06.25 - [수학 공부 기록] - [대수학] 0. Sets and Relations
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대수학 시리즈의 세 번째 글입니다. 이 글은 John B. Fraleigh의 A First Course in Abstract Algebra를 참고자료로 하여 쓰였음을 밝힙니다.
이 섹션에서는 이항 연산(Binary Operation)의 정의와 관련 개념들의 정의들을 살펴보고, 다양한 예시들을 통해 이를 이해해보고자 합니다.
Section 0에서 함수의 정의를 다루면서, 덧셈 연산 $+$도 다음과 같은 함수의 일종으로 바라볼 수 있다고 했습니다.
$$ + : (\mathbb{R} \times \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} $$
또한, Section 1에서는 덧셈과 곱셈이 특정한 "두 대상"을 "하나의 대상"으로 보내는 역할을 한다고 했습니다.
이러한 개념들을 잘 생각해보며, 이항 연산의 정의를 살펴봅시다.
- 이항 연산(Binary Operation)
집합 $S$ 위에 정의돼있는 연산 $\ast$는 $S \times S$에서 $S$로 가는 함수입니다.
즉, $\ast : S \times S \rightarrow S$입니다.
$(a, b) \in S \times S$마다, $S$의 원소 $\ast ((a, b))$를 $a \ast b$와 같이 표기합니다.
이 정의는 이전 글들에서 다루었던 실수 집합 $\mathbb{R}$에서의 곱셈과 덧셈, 복소수 집합 $\mathbb{C}$에서 정의된 곱셈과 덧셈등을 생각해 보면, 자연스러운 정의로 생각할 수 있습니다.
주의해야 될 예시는 실수 원소를 가지는 모든 행렬의 집합 $M(\mathbb{R} )$에서는 흔하게 쓰이는 행렬 덧셈 $+$이 이항 연산이 아니라는 점입니다.
만약 행렬 $A$와 $B$가 서로 다른 열과 서로 다른 행의 크기를 가지고 있다면, 행렬 덧셈이 정의가 되지 않기 때문입니다.
그렇다면, 행렬 덧셈이 정의가 되도록 집합의 크기를 제한한다면 어떻게 될까요?
예를 들자면, 실수 원소를 가지는 모든 $2\times 2$크기의 행렬의 집합 $M_{2 \times 2} ( \mathbb{R} )$로 그 크기를 제한하고, 행렬 덧셈 $+$를 기존에 쓰이던 방식으로 정의했다고 해봅시다.
그러면 이 집합에서 정의된 연산 $+$는 이항 연산이 됩니다.
여기에서 "닫혀있다(Closed)"의 정의와 "유도된 연산(induced operation)"의 정의를 봅시다.
-닫혀있다(Closed)와 유도된 연산(induced operation)
집합 $S$에서 정의된 연산 $\ast$를 생각해봅시다. 그리고, $H \subseteq S$라고 합시다.
이때, $H$의 임의의 두 원소 $a, b$에 대해서 $a \ast b \in H$라면, 우라는 $H$가 $\ast$에 대해 닫혀있다(Closed under $\ast$)고 이야기합니다. 다시 말해, $S$에서 정의된 연산 $\ast$의 정의역을 $H \times H$로 제한해도, $H$밖으로 벗어나는 원소들 없이 함수가 잘 정의된다는 뜻입니다.
또한, 이 경우 $\ast$의 범위를 $H$로 제한한 새로운 연산을 $H$위에서 $\ast$의 유도된 연산(induced operation of $\ast$ on $H$)라고 부릅니다.
"닫혀있다"의 개념을 구체화시키기 위해, 다양한 예시들을 들어보고자 합니다.
예시 1
$\mathbb{R}$위에서 정의된 연산 $+$을 생각해 보고, $\mathbb{R}^{*} \subset \mathbb{R}$을 생각해 봅시다. $2 \in \mathbb{R}^{*}$과 $-2 \in \mathbb{R}^{*}$이 성립하지만, 우리는 $-2 + 2 = 0 \notin \mathbb{R}^{*}$임을 알고 있습니다.
따라서, $\mathbb{R}^{*}$은 덧셈에 대해서 닫혀있지 않습니다.
예시 2
양의 정수들 중 제곱수만 모아놓은 집합 $H$를 생각해 봅시다. 더 정확히는, $H = \{ n^2 \ | \ n \in \mathbb{Z}^{+} \}$를 떠올려봅시다.
우리는 $H$가 $+$와 $\times$에 대해서 닫혀있는지 확인해볼 것입니다.
먼저 $H$가 $+$에 대해서 닫혀있는지 생각해봅시다.
잘 생각해 보면, 이는 당연히 아님을 알 수 있습니다. 두 제곱수의 합이 항상 제곱수가 되는 것은 아니기 때문입니다.
물론, $3^2 + 4^2 = 5^2$처럼 피타고라스 쌍이라면 두 제곱수의 합이 또 다른 제곱수가 될 순 있지만, 아닌 경우가 더 많습니다.
$H$가 $+$에 대해서 닫혀있으려면 항상 성립해야 합니다.
이번에는 $H$가 $\times$에 대해 닫혀있는지 생각해 봅시다.
이는 참입니다. 두 제곱수끼리 곱해도 항상 제곱수가 나오기 때문입니다.
구체적으로, $r \in H, s \in H$를 뽑는다면, 특정한 $n, m \in \mathbb{Z}^{+}$에 대해서 $n^2 = r, m^2 = s$가 성립합니다.
$r \times s = n^2 \times m^2 = (nm)^2$이므로, $r \times s$또한 $H$에 있음을 간단히 확인할 수 있습니다.
예시 3
실수 집합 $\mathbb{R}$을 정의역으로 가지고 실수 값을 가지는 함수, $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$들을 모두 모아놓은 집합 $F$를 생각해 봅시다.
우리가 잘 알고 있는 함수 사이에서 적용되는 함수의 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 합성을 생각해 봅시다.
즉, $f, g \in F$에서 $f+g = (f+g)(x) = f(x) + g(x)$, $f - g = (f-g)(x) = f(x)-g(x)$, $f \cdot g = (f \cdot g)(x) = f(x)g(x)$, $f \circ g = (f \circ g)(x) = f(g(x))$로 정의되는 $+, -, \cdot , \circ$을 생각해 봅시다.
이 $4$개의 함수들은 모두 $F$의 원소이므로, $F$는 함수들끼리의 연산 $+, -, \cdot , \circ$에 대해 닫혀있다고 이야기할 수 있습니다.
예시 4
실수 원소를 가지는 모든 행렬의 집합 $M(\mathbb{R} )$에서는 더하고자 하는 두 행렬의 열과 행 크기가 서로 다르다면 덧셈 연산 $+$을 잘 정의할 수 없습니다.
반면, $M(\mathbb{R} )$을 행렬의 크기가 항상 일정하도록 제한한다면, 즉, 위에서 이야기 한 것처럼 $M_{2 \times 2} ( \mathbb{R} ) \in M(\mathbb{R} )$을 생각한다면, 더하고자 하는 두 행렬의 크기가 항상 같으므로 덧셈 연산 $+$을 잘 정의할 수 있습니다.
따라서, $M_{2 \times 2} ( \mathbb{R} )$은 $+$에 대해 닫혀있습니다.
예시 5
지난 Section 1에서 이야기했던 복소수 집합 $\mathbb{C}$에서 정의된 곱셈 연산을 생각해 봅시다.
또한, 그 복소수 집합의 부분 집합 $U$를 생각해 봅시다. $U$는 복소평면 위에서의 단위원입니다.
지난 글에서 확인할 수 있듯, $U$는 곱셈 연산에 대해서 닫혀있습니다.
또한, $U$의 부분 집합, $U_n$, 즉 $1$의 모든 $n$거듭제곱근($n$th root of unity)의 집합 또한 곱셈 연산에 대해서 닫혀있다는 사실을 알 수 있습니다.
즉, 곱셈 연산을 $U$나 $U_n$의 관점으로 제한시킨다면, $U$위에서 혹은, $U_n$위에서 곱셈의 유도된 연산이라고 말할 수 있습니다.
이제 이항 연산의 교환 법칙과 결합 법칙을 3가지 서로 다른 이항연산의 예시를 통해 이해해 봅시다.
-이항 연산의 교환 법칙(Commutativity)과 결합 법칙(Associativity)
집합 $S$위에서 정의된 $\ast$가 교환할 수 있다(Commutative)는 것은 모든 $a, b \in S$에 대해서, $a \ast b = b \ast a$가 성립하는 것입니다.
즉, 연산의 대상을 앞뒤로 바꿔도 항상 연산 값이 같음을 의미합니다.
$\ast$가 결합할 수 있다(Associative)는 것은 모든 $a, b, c \in S$에 대해서, $(a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$가 성립하는 것입니다.
즉, 두 연산이 있다면 그 연산들을 어느 순서로 하든 상관없이 항상 연산 값이 같음을 의미합니다.
예시 1
$\mathbb{Z}^{+}$위에서 연산 $3$개를 정의해 봅시다.
첫 번째 연산 $\ast$는 $a \ast b = min(a, b)$입니다. 즉, $a$과 $b$중 더 작은 원소를 취하는 연산입니다.
두 번째 연산 $\ast ^ {'}$는 $a \ast ^ {'} b = a$입니다.
세 번째 연산 $\ast ^{''}$는 $a \ast ^ {''} b = ( a \ast b ) + 2$입니다. 즉, $a$와 $b$중 더 작은 원소에 $2$를 더하는 연산입니다.
첫 번째 연산 $\ast$이 교환법칙과 결합법칙이 성립하는지 알아봅시다.
$\ast$는 정의 상 $a \ast b$를 하든, $b \ast a$를 하든, 둘 중 작은 원소를 취하므로 항상 교환법칙이 성립함을 알 수 있습니다.
또한, 정의 상 $\ast$는 $a \ast ( b \ast c )$과 $(a \ast b ) \ast c$를 구하면 $a, b, c$중에서 가장 작은 원소의 값이 나옴을 알 수 있습니다. 따라서, 결합법칙 또한 성립합니다.
두 번째 연산 $\ast ^ {'}$이 교환법칙과 결합법칙이 성립하는지 알아봅시다.
$\ast ^ {'}$는 정의 상 앞부분만을 취하는 연산이기 때문에, 교환법칙이 성립되지 않음을 바로 확인할 수 있습니다.
또한, $a \ast ^ {'} ( b \ast ^ {'} c ) = (a \ast ^{'} b) \ast ^ {'} c = a$임을 정의상 쉽게 확인할 수 있으므로, 결합법칙은 성립됨을 알 수 있습니다.
세 번째 연산 $\ast ^ {''}$이 교환법칙과 결합법칙이 성립하는지 알아봅시다.
$\ast ^ {''}$는 두 대상의 최솟값에 $2$를 더하는 값을 반환하므로, $a \ast ^ {''} b = b \ast ^ {''} a$임을 쉽게 확인할 수 있습니다.
하지만, 결합법칙은 성립하지 않습니다.
예를 들어, $(2 \ast ^ {''} 5 ) \ast ^ {''} 9 = 4 \ast ^ {''} 9 = 6$이지만, $2 \ast ^ {''} (5 \ast ^ {''} 9) = 2 \ast ^ {''} 7 = 4$여서 다름을 확인할 수 있습니다.
예시 2
집합 $S$에서 $S$로 가는 함수들의 집합족 $\mathscr{F}$를 생각해 봅시다.
$\mathscr{F}$위에서 정의할 수 있는 함수의 합성 연산 $\circ$는 결합법칙을 만족시키지만, 교환법칙은 만족시키지 않습니다.
즉, 모든 $f, g, h \in \mathscr{F}$에 대해 $f \circ ( g \circ h ) = (f \circ g) \circ h$를 만족시킵니다.
이에 대한 증명은 생략 합니다.
이 사실을 이용하면, 임의의 $n \times n$크기의 행렬들 사이에 주어지는 곱셈이 결합법칙을 만족시키는 연산이라는 사실 또한 쉽게 증명할 수 있습니다.
선형대수에서도 나와있는 사실이지만, $n \times n$크기의 행렬은 하나의 선형 변환(Linear Transformation)에 대응되고, 이들 사이에서의 곱은 선형 변환의 합성으로 간주할 수 있기 때문입니다.
이항 연산을 표현하는 직관적인 방법 중 하나는 표를 이용하는 것입니다.
예를 들어, 다음과 같은 표가 주어져 있다고 해봅시다.
이 표는 집합 $S = \{ a, b, c \}$에서 정의된 연산 $\ast$의 각 결과들을 적은 표입니다.
(왼쪽의 열에 쓰여있는 원소) $\ast$ (위의 행에 쓰여있는 원소)의 결과를 적은 것으로, 예를 들어, $a \ast b = c$임을, $b \ast a = a$임을 쉽게 알 수 있습니다.
표가 주어진다면, 우리는 이 표를 통해 직관적으로 이 연산이 교환법칙을 만족시키는지 확인할 수 있습니다.
당연히 교환법칙이 만족되려면 이 표가 왼쪽 아래 방향 대각선에 대해서 대칭인 모양을 가지고 있어야 합니다.
그 역 또한 마찬가지입니다.
우리가 집합 $S$위에서 이항 연산을 정의할 때에는 이항 연산의 정의에 따라, 아래와 같은 조건을 염두에 두어야 합니다.
이항 연산은 함수이기 때문에, 명확하게 하나의 순서쌍에 하나의 원소가 대응이 되어야 합니다.
즉, $S \times S$의 모든 순서쌍마다, 일단 $S$의 원소 하나에 대응이 되어야 하며, 모든 순서쌍은 하나의 원소'만'을 대응시켜야 합니다.
만약 어떤 순서쌍에 $S$의 원소 하나를 대응시키는 것이 연산의 정의 상 불가능한 경우, 우리는 이를 이 연산이 모든 곳에서 정의돼있는 것은 아니다(not everywhere defined)고 이야기합니다.
만약 연산이 어떤 순서쌍에 원소를 대응시킬 순 있지만, 그것이 $S$의 원소를 대응시키는 것이 아니라 $S$의 범위를 넘어선 원소에 대응시킨다면, 우리는 $S$가 이 연산에 대해 닫혀있지 않다(not closed under the operation)고 이야기합니다.
또한, 어떤 경우는 연산이 모호해서, 한 순서쌍이 $S$의 원소 하나만을 대응시키는 것이 아니라 두 개 이상을 대응시킬 수 있다면, 우리는 이 연산이 잘 정의되어 있지 않다(not well defined)고 이야기합니다.
다양한 연산들의 예시를 통해 이를 알아보고 글을 마치고자 합니다.
예시 1
집합 $\mathbb{Q}$에서 연산 $\ast$를 $a \ast b = a / b$라고 정의합시다.
$\ast$는 모든 곳에서 정의돼있는 것은 아닙니다. 그 이유는 순서쌍 $(2, 0)$에 대해서 정의할 수 없는 연산이기 때문입니다.
예시 2
집합 $\mathbb{Q}^{+}$에서 연산 $\ast$를 위와 똑같이 정의합시다.
이번에는 모든 순서쌍에 대해 정의할 수 있고, 두 개 이상의 결과를 반환하는 연산이 아니므로 이는 이항연산이라고 볼 수 있습니다.
예시 3
이번엔 집합 $\mathbb{Z}^{+}$에서 연산 $\ast$를 위와 같이 정의합시다.
모든 순서쌍에 대해서 결과가 잘 나오긴 하지만, 이 결과는 $\mathbb{Z}^{+}$에 없을 수도 있습니다.
예를 들어, $(3, 2)$에 대한 값은 $\mathbb{Z}^{+}$에 없습니다.
따라서 $\mathbb{Z}^{+}$는 $\ast$에 대해 닫혀있지 않습니다.
예시 4
위의 예시에서 $\mathbb{R}$을 정의역으로 가지고 실수 값을 가지는 함수, $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$들을 모두 모아놓은 집합 $F$를 생각해 봅시다.
그리고 연산 $\ast$를 $f \ast g = f / g$라고 정의합시다.
이 연산은 닫혀있지 않습니다.
예를 들어, $f(x) = \mathrm{cos} x$, $g(x) = x^2$이라고 정의한다면, 우리는 $x = 0$일 때의 이 함수의 값을 정의할 수 없습니다.
즉, 연산으로 나온 새로운 함수 $h$는 $0$을 제외한 정의역을 가지므로, $h \notin F$입니다.
예시 5
이번에는 같은 집합 $F$위에서 연산 $\ast$를 $f \ast g =$ $f$와 $g$보다 큰 함수 $h$라고 정의합시다.
이 연산은 두 가지 맥락에서 잘 정의돼있지 않습니다.
먼저, 한 함수가 다른 함수보다 "크다"라는 말을 잘 정의하지 않았습니다.
두 번째로, 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $h(x) > f(x)$이면서 $h(x) > g(x)$인 함수 $h(x)$라고 크다는 뜻을 잘 정의한다고 할지라도, 이 조건을 만족시키는 함수 $h$는 무수히 많으므로, 오직 하나만 대응이 될 수 없습니다.
따라서 잘 정의돼있지 않은 연산입니다.
예시 6
이번엔 집합 $S$를 $20$명의 사람이 모인 집합이라고 해보고, 연산 $\ast$를 $a \ast b = c$라고 해봅시다. 여기서 $c$는 집합 $S$중 키가 가장 큰 사람을 말합니다.
이 연산은 잘 정의돼있을까요?
키가 가장 큰 사람이 여러 명이라면 이 연산은 잘 정의돼있는 연산이 아닙니다.(not well defined)
만약 집합 $S$가 똑같이 $20$명의 사람이 모인 집합인데, 이 사람들의 키가 모두 다르다고 해봅시다.
그렇다면 이 연산은 잘 정의가 될 것입니다.
같은 집합 $S$에서 이번엔 연산 $a \ast b$를 $a$와 $b$보다 큰 사람 중 가장 작은 사람이라고 하면 어떨까요?
이 연산은 $a$나 $b$중 한 명이 $S$에서 가장 큰 사람이라면, 정의할 수 없습니다.
따라서 모든 곳에서 정의된 연산은 아닙니다.(not everywhere defined)
다음 섹션에서는 이항 연산이 주는 구조에 대해 이야기하고, 이 구조가 "같다"는 것을 수학에서는 어떻게 정의하는지 다룰 것입니다.
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