[대수학] 1. Introduction and Examples

2023.06.25 - [수학 공부 기록] - [대수학] 0. Sets and Relations

[대수학] 0. Sets and Relations

대수학 시리즈의 두번째 글입니다. 이 글은 John B. Fraleigh의 A First Course in Abstract Algebra를 참고자료로 하여 쓰였음을 밝힙니다.

 

---

이 섹션에서는 복소수의 곱셈, 특히, 복소 평면 위의 단위원에서 정의된 곱셈(Algebra on circle)과 1의 거듭 제곱근($n$th root of unity)을 중점적으로 살펴보며, 앞으로 우리가 다루게 될 "대수적 대상"들에 대한 이야기의 기반을 다지겠습니다.

 

---

우리는 실수 집합 $\mathbb{R}$위에서 정의된 덧셈과 곱셈에 대해 아주 익숙합니다.

 

뭐, 당장 $2 + 3 = 5$라는 사실은 초등학생들도 쉽게 아는 사실입니다.

 

이렇게 익숙한 덧셈과 곱셈은 모두 특정한 "두 대상"을 "하나의 대상"으로 보내는 역할을 합니다.

 

이러한 개념을 추상화 시킨 것을 "이항 연산(Binary Operations)"이라고 부르는 데, 이에 대한 정확한 정의는 다음 섹션에서 다룰 것입니다.

 

어쨌든, 대수학이라는 과목의 목표는 이렇게 "이항 연산"이 정의 되어있는 집합에서, 이 연산이 도대체 어떤 "대수적 구조"를 가지고 있는가?에 대해 알아가는 것입니다.

 

 

"대수적 구조"를 조금 더 쉽게 설명하자면 이런 것들입니다.

 

위에서 이야기 한 실수 집합 $\mathbb{R}$위에서 정의된 덧셈 연산 $+$를 생각해봅시다.

 

그러면 $\mathbb{R}$위에서 아무 원소 $a$를 가지고 와서 $x + x = a$라는 방정식을 만들었다고 해봅시다.

 

그러면 이 방정식은 항상 실수 집합에서 근을 가질까요?

 

뭐, 당연히 가집니다. 그리고 그 값은 $x = a/2$가 됩니다.

 

반면, 똑같은 실수 집합 $\mathbb{R}$위에서 정의된 곱셈 연산 $\times$를 생각해봅시다.

 

그리고, 그 연산을 가지고 마찬가지로 $x \times x = a$라는 방정식을 만들었다고 해봅시다.

 

그러면 이 방정식은 항상 실수 집합에서 근을 가질까요?

 

덧셈과는 다르게, $a < 0$이라면 실수 집합에서 근을 가질 수 없다는 사실을 우리는 잘 압니다.

 

두 수를 제곱하면 항상 $0$보다 크거나 같은 수가 나오기 때문이죠.

 

때문에, 우리는 $(\mathbb{R}, +)$와 $(\mathbb{R}, \times )$는 서로 "다른" 대수적 구조를 지닌다는 것을 알 수 있습니다.

 

반면, 양의 실수에서 정의된 곱셈 $(\mathbb{R} ^ {+}, \times )$와 실수 위에서의 덧셈 $(\mathbb{R} , +)$는 서로 같은 대수적 구조를 지닙니다. 이에 대한 자세한 내용은 Section 3에서 다루도록 하겠습니다.

 

---

본격적으로, 복소수에서 정의된 곱셈과 덧셈을 알아보겠습니다.

 

우리는 복소수 $\mathbb{C}$에서 정의된 곱셈과 덧셈을 잘 알고 있습니다.

 

이러한 내용들을 적자면 아래와 같습니다.

1. 복소수(Complex number) 집합 $\mathbb{C}$는 아래와 같이 정의되는 집합입니다.

$$\mathbb{C} = \{ a + bi \ | \ a, b \in \mathbb{R} \}$$
여기서 $i$는 $x^2 = -1$을 만족시키는 근 중 하나입니다. 즉, $i^2 = -1$을 만족시킵니다.

2. 실수 하나를 수직선 위의 하나의 점으로 대응시킬 수 있는 것처럼, 복소수 또한 복소수 하나를 복소 평면(Complex plane) 위의 하나의 점으로 대응시킬 수 있습니다.

$a + bi$를 복소 평면 위에 나타낸 모습

3. 직교 좌표계(Cartesian Coordinate)로 표현된 두 복소수 $z_1$과 $z_2$가 각각 $z_1 = a + bi, \ z_2 = c + di$로 주어질때, 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의됩니다.

$z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$
$z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad+bc)i$

또한, 이렇게 정의된 곱셈은 모든 $z_1, z_2, z_3$에 대해서 교환법칙(Commutative property)와 결합법칙(Associative property), 분배법칙(Distribute property)를 만족시킵니다. 즉, 아래와 같은 세가지 성질을 만족시킵니다.

$1. \ z_1 z_2 = z_2 z_1$
$2. \ z_1 (z_2 z_3) = (z_1 z_2) z_3$
$3. \ z_1 (z_2 + z_3 ) = z_1 z_2 + z_1 z_3 $

4. 복소수 $a + bi$의 절댓값(Absolute value)은 다음과 같이 정의됩니다.

$$ | a + bi | = \sqrt{a^2 + b^2} $$

 

---

특히, 복소수의 절댓값은 복소수의 극형식(Polar Coordinate form)을 정의하는데에 유용하게 사용됩니다.

 

다들 알겠지만, 극형식은 좌표평면의 한 점을 "원점에서 떨어진 거리"와 양의 방향으로 뻗어나가는 가로축(여기서는 양의 실수)으로부터의 "각도"를 통해 나타내는 방식입니다.

 

복소수 $z$를 극형식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

$$z = |z|( \mathrm{cos} \theta + i \mathrm{sin} \theta )$$

 

복소수 $z$를 극형식으로 나타낸 모습

 

복소수를 이렇게 복잡한 극형식으로 나타내는 주요한 이유 중 하나는, 직교좌표계에서 나타냈던 복잡한 복소수의 곱셈이 극좌표계로 나타내면 간단하게 표현될 수 있기 때문입니다.

 

이를 표현하기 위해서는 오일러의 공식(Euler's Formula)이라고 불리는 아주 유명한 공식을 사용해야 합니다.

 

$$ e^{i \theta} = \mathrm{cos} \theta + i \mathrm{sin} \theta $$

$$\mathrm{Euler's \ Formula}$$

 

이 공식이 왜 성립하는지에 대한 증명은 생략하겠습니다.

 

 

어찌 되었건, 이 공식을 활용한다면 복소수의 극형식을 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있습니다.

 

$$z = |z| e ^ {i \theta}$$

 

이를 이용해 두 복소수 $z_1$과 $z_2$ 사이에 정의된 곱셈을 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있습니다.

 

$$ z_1 z_2 = | z_1 | e ^ {i \theta_1} | z_2 | e ^ {i \theta_2} $$

$$ = | z_1 | | z_2 | e ^ {i ( \theta_1 + \theta_2 )}$$

 

이 결과는 곧, 두 복소수의 곱이 좌표 평면 상에서 "두 복소수의 크기를 곱하고", "두 복소수의 각도를 더한 곳"에 위치해 있음을 뜻합니다.

 

---

그렇다면, 두 복소수가 모두 크기가 $1$이라면 어떤 일이 벌어질까요?

 

위에서 말했듯, 두 복소수의 곱이 위치한 곳은 두 복소수의 크기를 곱하고, 각도를 더한 곳이라고 했습니다.

 

하지만, 그 크기는 둘다 $1$이기 때문에, 같은 크기를 가질 것입니다.

 

이제, 집합 $U$를 다음과 같이 정의해봅시다.

 

$$U = \{ z \in \mathbb{C} \ | \ |z| = 1 \}$$

 

즉, 복소 평면 위에서의 단위원입니다.

$z \in U$를 복소평면 위에 나타낸 모습

이렇게 $U$를 정의한다면, $U$에 있는 원소 두 개를 아무거나 뽑아서 곱해도, 그 크기는 $1$이기 때문에 다시 $U$에 들어갑니다.

 

이런 것을 $U$가 곱셈에 대해서 닫혀있다(closed under multiplication)고 말합니다.

 

어려운 용어처럼 쓰이긴 했지만, 쉽게 이야기 하자면 자기들끼리 노는 거라고 생각하시면 편합니다.

 

또한, $U$의 원소들을 잘 보면, 그 각도가 $0 \leq \theta < 2\pi$를 만족시킵니다.

 

이제, 복소수의 곱은 "각도를 서로 더한 곳"에 위치해있음을 다시 생각해봅시다.

 

그러면, 우리는 $U$에서 정의된 곱셈들을, 단순히 그 원소의 "각도"만 가지고 이야기 할 수 있지 않을까요?

 

실수 집합 $\mathbb{R}_{2\pi} = [0, 2\pi)$위에서 정의 된 덧셈, $+_{2\pi}$를 생각해봅시다.

 

이 덧셈은 두 원소를 더했을 때 $2\pi$를 넘어간다면 $2\pi$를 빼주는 연산입니다.

 

그러면, 당연히 $[0, 2\pi)$에서 이 연산을 정의해준다면, 이 집합에서 두 원소를 어떻게 뽑든 간에 이 연산을 적용한 결과는 항상 $[0, 2\pi)$안에 있을 것입니다.

 

이 연산을 addition modulo $2\pi$라고 부릅니다.

 

이 연산의 개념을 확장해서, $R_c = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ 0 \leq x < c \}$에서 정의된 연산 $+_{c}$또한 생각해 볼 수 있습니다.

 

어찌 되었던 간에, $U$에서 정의된 두 복소수의 곱셈과, $R_{2\pi}$에서 정의된 두 실수의 덧셈을 생각해보면, 사실상 같음을 알 수 있습니다.

 

위에서 말했듯, 크기가 $1$인 두 복소수의 곱은 단순히 두 복소수의 각도만 더한 것이기 때문입니다.

 

즉, 다음과 같이 서로가 서로에게 매칭을 시킬 수 있는 관계가 성립함을 알 수 있습니다.

 

$$z_1 \leftrightarrow \theta _1, \ z_2 \leftrightarrow \theta _2, \ z_1 \cdot z_2 \leftrightarrow (\theta _1 +_{2\pi} \theta _2)$$

 

이러한 것을 동형 사상(Isomorphism)이라고 부르며, 이에 대한 정확한 정의는 Section 3에서 다루도록 하겠습니다.

 

여기에서는 그저 동형 사상에 대한 쉬운 예시를 통해 이해가 되게끔 하는 것이 목적입니다.

 

---

예시들을 들어봅시다.

 

$U$에서는 임의의 원소 $a$에 $e$를 곱하면 $a$가 그대로 나오는 원소 $e$, 즉, 항등원(Identity element)이 오직 단 하나밖에 존재하지 않고, 그 원소는 $1$입니다.

 

비슷하게, $\mathbb{R}_{2\pi}$에서는 임의의 원소 $a$에 $e$를 더하면 $a$가 그대로 나오는 원소 $e$는 오직 단 하나 밖에 존재하지 않으며, 그 원소는 $0$입니다.

 

이때, $1 \in U$를 보면, 복소 평면 위에서의 그 각도가 실제로 $0$이므로, $1 \in U$와 $0 \in \mathbb{R}_{2\pi}$는 서로가 서로에게 대응이 되는 관계입니다. 또한, 각자가 속한 집합에서 같은 역할을 합니다.

 

 

또한, $U$에서 정의된 방정식 $z \cdot z \cdot z \cdot z = 1$을 생각해봅시다. 이 방정식을 풀면 $1, i, -1, -i$ 총 $4$개의 근이 나오게 됩니다.

 

비슷한 형태로, $\mathbb{R}_{2\pi}$에서 정의된 방정식 $x +_{2\pi} x +_{2\pi} x +_{2\pi} x = 0$을 생각해봅시다. 이 방정식을 풀면, $0, \pi / 2, \pi , 3\pi / 2$가 나오게 됩니다.

 

$U$에서 정의된 방정식의 $4$개의 근, $1, i, -1, -i$를 보면 복소 평면 위에서의 그 각도가 $0, \pi / 2, \pi , 3\pi / 2$이므로 서로가 서로에게 대응이 되는 관계를 지닙니다.

 

---

이번엔 위에서 이야기 한 집합 $U$의 원소들을 한정시켜 생각해봅시다.

 

집합 $U$의 원소들은 지금 곱셈이라는 연산에 대해서 닫혀있는 상태입니다.

 

그러면 우리는 $U$에서 일부분의 원소를 뽑아 부분 집합을 구성하여, 그 부분 집합이 똑같은 "곱셈"이라는 연산에 대해 닫혀있도록 만들 수 있을까요?

 

결론만 이야기하자면, 가능합니다.

 

이를 어떻게 할 수 있을지에 대해서 알아봅시다.

 

---

집합 $U_n$을 생각해봅시다. $U_n$은 다음과 같이 정의되는 집합입니다.

 

$$U_n = \{ z \in \mathbb{C} \ | \ z^n = 1 \} $$

 

즉, 다시 말해 복소수 집합 $\mathbb{C}$에서 찾을 수 있는 $1$의 모든 거듭제곱근들($n$th roots of unity)입니다.

 

여기에 속한 원소는 오일러 공식을 사용하면 다음과 같이 표현됩니다.

 

$$\mathrm{cos}(2\pi m / n) + i \mathrm{sin}(2\pi m / n), \ \ \ \ m = 0, 1, ..., n-1$$

 

왜 이렇게 표현이 될 수 있는지는 다음과 같은 과정을 보면 알 수 있습니다.

 $z^n = 1$ $\Rightarrow e^{ni \theta} = e^{2m\pi i}$ $\Rightarrow \theta = 2\pi m / n$ $\Rightarrow z = \mathrm{cos}(2\pi m / n) + i \mathrm{sin}(2\pi m / n)$$(m = 0, 1, ..., n-1)$

 

당연하게도, $U_n$에 속한 모든 원소들, 즉, $1$의 모든 거듭제곱근들은 그 크기가 $1$임을 우리는 잘 알고 있습니다.

 

때문에, $U_n \subset U$입니다.

 

여기서, $m = 1$일때의 근, 즉, $\mathrm{cos}(2\pi / n) + i \mathrm{sin}(2\pi / n)$을 $\zeta$라고 한다면, 우리는 $U_n$의 모든 원소들을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

$$ U_n = \{1, \zeta, \zeta ^2 \zeta ^3, ..., \zeta ^{n-1} \}$$

 

우리는 $\zeta ^n = 1$이라는 사실을 잘 알고 있기 때문에, $U_n$이 곱셈에 대해서 닫혀있다는 것을 알 수 있습니다.

 

예를 들어, $n = 10$이라면, $\zeta ^6 \zeta ^8$ $=$ $\zeta ^{14}$ $=$ $\zeta ^{10} \zeta ^4$ $=$ $1 \cdot \zeta ^4$ $=$ $\zeta ^4$가 됩니다.

 

여기서 관찰할 수 있는 사실은, $\zeta$라는 문자는 크게 중요하지 않고, 실질적으로 계산이 되는 부분은 위의 지수부분만 의미가 있다는 사실입니다.

 

그리고, 곱셈을 지수부분의 덧셈으로 생각해도 별 문제가 없습니다.

 

때문에 $U_n$에서 정의된 곱셈 $\times$는 $\mathbb{Z}$에서 정의된 덧셈 $+_{n}$으로 똑같이 생각할 수 있습니다.

 

즉, 다음과 같은 관계가 성립합니다.

 

$$\zeta ^i \leftrightarrow i, \ \zeta ^j \leftrightarrow j, \ \zeta ^i \cdot \zeta ^j \leftrightarrow i +_{n} j$$

 

다시 말하자면, 서로가 서로에게 동형(Isomorphic)인 관계임을 알 수 있습니다.

 

---

다음 섹션에서는 이항 연산이 무엇인지 정확하게 정의하고, 다양한 예시들을 통해 이항 연산에 대해 알아보겠습니다.