[C++] 13055번 K-Inversions

https://www.acmicpc.net/problem/13055

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26/02/05

 

 

처음 해결할 때 애를 먹었던 FFT 응용문제이다.

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문제 접근 방식:

 

 

먼저, 문제에서는 'A'와 'B'로만 구성된 문자열 $S$가 주어진다.

'B'문자가 등장한 후, $k$칸 뒤에 'A'문자가 등장한다면, 그 두 문자의 쌍을 $k$-inversion이라고 정의한다.

문제에서 물어보는 것은 문자열 $S$가 주어질 때 찾을 수 있는 모든 $k$-inversion의 개수를 $k$값마다 출력하는 것이다.

처음 보면 "어쩌라고?"라는 의문이 들 수 있을 것이다. 하지만 문제에서 친절하게 $k$-inversion의 정의를 수식으로 잘 알려주고 있다.

즉, $S[i] = B$이고, $S[j] = A$이며, $j-i=k$인 문자열 쌍을 $k$-inversion이라고 정의하고 있다.

이제 $S[i] = B$일때 $1$, 그러지 않을 때 $0$인 배열 $B$를 만들자. 마찬가지로 배열 $A$를 만들자.

이제 수식적으로 정리해보자면 $\displaystyle \sum B[i]A[i+k]$를 빠르게 구하는 문제가 되고, 이는 합성곱 형태임을 확인할 수 있다.

정확히 이야기하면, 완전히 합성곱 형태는 아니고 한쪽이 커지면 다른쪽도 커지는 형태이므로, 배열 $A$나 배열 $B$중 한쪽을 뒤집어주면 된다.(이전에 해결했던 이동 문제를 떠올리자.)

$$C[t] = \sum_i B[i]A[N-1-(t-i)] \to N-1-(t-i) = i+k \to k = N-1-t$$
따라서, 배열 $A$와 뒤집은 배열 $B$를 FFT로 곱해준 결과 배열 $C$를 구하고, $k$-inversion에 대한 값을 구하고 싶으므로 $k$에 대한 값을 구하기 위해 $N-1-t$에 대한 값을 출력하면 된다.

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아래는 내가 위의 접근 방식과 같이 작성한 C++ 코드이다. 더보기를 누르면 확인할 수 있다.

// 13055번 K-Inversions
// NTT
#include <iostream>
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
#define fastio ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
#define endl '\n'

/*
Notes:
MOD = 998'244'353 = 119*2^23 + 1
MOD = 1'004'535'809 = 479*2^21 + 1 / G = 3 / Works for lengths up to 2^21. / Use with CRT and 998'244'353
MOD = 469'762'049 = 7*2^26 + 1 / G = 3 / Works for lengths up to 2^26.
MOD = 167'772'161 = 5*2^25 + 1 / G = 3 / Works for lengths up to 2^25.
MOD = 1'224'736'769 = 73*2^24 + 1 / G = 3 / Works for lengths up to 2^24.
Combine above 3-NTT primes with CRT -> 75bits fast product ok.
*/
template<int MOD, int G>
struct NTT {
    using ll = long long;
private :
    // HELPER FUNCTION
    inline int mul_mod(int a, int b) const {return (ll)a * b % MOD;}
    inline int pow_mod(int a, int e) const {
        int r = 1;
        while(e > 0){
            if(e & 1) r = mul_mod(r, a);
            a = mul_mod(a, a);
            e >>= 1;
        }
        return r;
    }
    inline int mod_inv(int a) const {return pow_mod(a, MOD-2);}
public : 
    void iterative_NTT(vector<int>& a, int invert){
        int n = (int)a.size();
        // 1) bit-reversal permutation
        for (int i = 1, j = 0; i < n; i++){
            int bit = n >> 1;
            while (j & bit){
                j ^= bit;
                bit >>= 1;
            }
            j ^= bit;
            if (i < j) swap(a[i], a[j]);
        }
        // 2) butterflies by length = 2, 4, 8, ...
        for (int len = 2; len <= n; len <<= 1){
            // primitive len-th root of unity
            int w_len = pow_mod(G, (MOD - 1) / len);
            if (invert) w_len = mod_inv(w_len);
            for (int i = 0; i < n; i += len){
                int w = 1;
                for (int j = 0; j < len / 2; j++){
                    int u = a[i+j];
                    int v = mul_mod(w, a[i+j+len/2]);
                    int x = u+v; if (x >= MOD) x -= MOD;
                    int y = u-v; if (y < 0) y += MOD;
                    a[i+j] = x;
                    a[i+j+len/2] = y;
                    w = mul_mod(w, w_len);
                }
            }
        }
        // 3) Divide by n (multiply by inverse) for inverse transform
        if (invert){
            int inv_n = mod_inv(n);
            for (int i = 0; i < n; ++i){
                a[i] = mul_mod(a[i], inv_n);
            }
        }
    }
    // Input : Coefficient vector {a_0, a_1, ...}, {b_0, b_1, ...}
    // Output : Convolution of two coefficient vector
    vector<int> convolution(vector<int> a, vector<int> b) {
        if (a.empty() || b.empty()) return {};
        int S_a = (int)a.size(), S_b = (int)b.size();
        // Make vector size easy to dnc(2^n).
        int n = 1;
        while (n < S_a + S_b - 1){
            n <<= 1;
        }
        a.resize(n); b.resize(n);
        // Normalize to [0, MOD)
        for (int i = 0; i < n; ++i){
            a[i] %= MOD; if (a[i] < 0) a[i] += MOD;
            b[i] %= MOD; if (b[i] < 0) b[i] += MOD;
        }
        // NTT
        iterative_NTT(a, 0); iterative_NTT(b, 0);
        // Pointwise product
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[i] = mul_mod(a[i], b[i]);
        }
        // INTT
        iterative_NTT(a, 1);
        a.resize(S_a + S_b - 1);
        return a;
    }
};

int main(void){
    fastio

    string S; cin >> S;
    int N = S.size();
    vector<int> A(N, 0), B(N, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i){
        if (S[i] == 'A') A[N-i-1] = 1;
        else B[i] = 1;
    }
    NTT<998'244'353, 3> ntt;
    auto C = ntt.convolution(B, A);
    for (int k = 1; k < N; ++k){
        cout << C[N-1-k] << endl;
    }
    return 0;
}