[C++] 20176번 Needle

 

 

https://www.acmicpc.net/problem/20176

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26/02/01

 

 

 

Golf Bot문제와 동일한 아이디어로 해결할 수 있다.

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문제 접근 방식:

 

 

문제의 요구 사항을 잘 읽어보면, 결국 바늘이 3개의 벽을 통과하기 위해선 벽의 구멍의 위치가 서로 등차수열을 이루고 있어야 함을 확인할 수 있다.

즉, 벽 구멍의 위치를 맨 윗 벽부터 순서대로 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$이라고 하면, $x_{1}+x_{3}=2x_{2}$를 만족시키는 경우의 수를 찾는 문제로 바뀐다.

결국 두 수의 합을 물어보는 문제로 바뀌게 된다. 그리고 이는 10531번 Golf Bot문제를 해결했을 때의 아이디어와 동일하다고 할 수 있다.

하지만 여기서는 주어지는 $x_{i}$들이 음수가 될 수 있다.

이를 막기 위해 $-30\ 000 \leq x \leq 30\ 000$으로 주어지는 좌표를 $30\ 000$만큼 shift하여, $0 \leq x \leq 60\ 000$으로 간주하여 계수 배열을 만들면 된다.

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아래는 내가 위의 접근 방식과 같이 작성한 C++ 코드이다. 더보기를 누르면 확인할 수 있다.

// 20176번 Needle
// FFT
/*
접근 방법:
위에서부터 순서대로 x1, x2, x3이라고 하면 x1-x2 = x2-x3 -> x1 + x3 = 2*x2을 만족하는 개수를 찾아야함.
결국 두 수의 합을 물어보는 문제로 변질됨
*/
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
#define fastio ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
#define endl '\n'

/*
Notes:
MOD = 998'244'353 = 119*2^23 + 1
MOD = 1'004'535'809 = 479*2^21 + 1 / G = 3 / Works for lengths up to 2^21. / Use with CRT and 998'244'353
MOD = 469'762'049 = 7*2^26 + 1 / G = 3 / Works for lengths up to 2^26.
MOD = 167'772'161 = 5*2^25 + 1 / G = 3 / Works for lengths up to 2^25.
MOD = 1'224'736'769 = 73*2^24 + 1 / G = 3 / Works for lengths up to 2^24.
Combine above 3-NTT primes with CRT -> 75bits fast product ok.
*/
template<int MOD, int G>
struct NTT {
    using ll = long long;
private :
    // HELPER FUNCTION
    inline int mul_mod(int a, int b) const {return (ll)a * b % MOD;}
    inline int pow_mod(int a, int e) const {
        int r = 1;
        while(e > 0){
            if(e & 1) r = mul_mod(r, a);
            a = mul_mod(a, a);
            e >>= 1;
        }
        return r;
    }
    inline int mod_inv(int a) const {return pow_mod(a, MOD-2);}
public : 
    void iterative_NTT(vector<int>& a, int invert){
        int n = (int)a.size();
        // 1) bit-reversal permutation
        for (int i = 1, j = 0; i < n; i++){
            int bit = n >> 1;
            while (j & bit){
                j ^= bit;
                bit >>= 1;
            }
            j ^= bit;
            if (i < j) swap(a[i], a[j]);
        }
        // 2) butterflies by length = 2, 4, 8, ...
        for (int len = 2; len <= n; len <<= 1){
            // primitive len-th root of unity
            int w_len = pow_mod(G, (MOD - 1) / len);
            if (invert) w_len = mod_inv(w_len);
            for (int i = 0; i < n; i += len){
                int w = 1;
                for (int j = 0; j < len / 2; j++){
                    int u = a[i+j];
                    int v = mul_mod(w, a[i+j+len/2]);
                    int x = u+v; if (x >= MOD) x -= MOD;
                    int y = u-v; if (y < 0) y += MOD;
                    a[i+j] = x;
                    a[i+j+len/2] = y;
                    w = mul_mod(w, w_len);
                }
            }
        }
        // 3) Divide by n (multiply by inverse) for inverse transform
        if (invert){
            int inv_n = mod_inv(n);
            for (int i = 0; i < n; ++i){
                a[i] = mul_mod(a[i], inv_n);
            }
        }
    }
    // Input : Coefficient vector {a_0, a_1, ...}, {b_0, b_1, ...}
    // Output : Convolution of two coefficient vector
    vector<int> convolution(vector<int> a, vector<int> b) {
        if (a.empty() || b.empty()) return {};
        int S_a = (int)a.size(), S_b = (int)b.size();
        // Make vector size easy to dnc(2^n).
        int n = 1;
        while (n < S_a + S_b - 1){
            n <<= 1;
        }
        a.resize(n); b.resize(n);
        // Normalize to [0, MOD)
        for (int i = 0; i < n; ++i){
            a[i] %= MOD; if (a[i] < 0) a[i] += MOD;
            b[i] %= MOD; if (b[i] < 0) b[i] += MOD;
        }
        // NTT
        iterative_NTT(a, 0); iterative_NTT(b, 0);
        // Pointwise product
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            a[i] = mul_mod(a[i], b[i]);
        }
        // INTT
        iterative_NTT(a, 1);
        a.resize(S_a + S_b - 1);
        return a;
    }
};

int main(void){
    fastio

    int N, M, L;
    vector<int> upper(60001, 0), middle(60001, 0), below(60001, 0);
    cin >> N;
    int x;
    for (int i = 0; i < N; ++i){
        cin >> x;
        upper[x+30000] = 1;
    }
    cin >> M;
    for (int i = 0; i < M; ++i){
        cin >> x;
        middle[x+30000] = 1;
    }
    cin >> L;
    for (int i = 0; i < L; ++i){
        cin >> x;
        below[x+30000] = 1;
    }
    NTT<998'244'353, 3> ntt;
    auto first = ntt.convolution(upper, below);
    long long ans = 0;
    for (int i = 0; i < first.size(); i += 2){
        if (first[i] != 0 && i/2 < 60001 && middle[i/2] != 0){
            ans += (first[i]*middle[i/2]);
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}