[Python] 7869번 두 원

https://www.acmicpc.net/problem/7869

7869번: 두 원

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22/11/09

 

 

전형적인 수학, 기하학 문제로, 제2코사인 법칙을 사용하여 문제를 해결할 수 있다.

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문제 접근 방식:

 

 

이 문제를 풀기 위해서는 먼저 제2코사인 법칙을 알아야 한다.

 

출처: 네이버 백과

제2코사인 법칙이란, 어떤 삼각형의 세 변과 그 대각 사이에 성립되는 관계로, 위와 같은 식을 따른다.

 

따라서, 내가 예를 들어, 각 B를 구하고 싶으면 저 식 중 2번째 식을 변형하여 아래와 같이 구할 수 있다.

 

식 1. 제2코사인 법칙을 이용하여 구한 각

 

이 식을 이용할 것이다.

 

먼저, 원의 위치 관계에 따라 3가지 경우로 나뉜다.

 

1. 두 원이 서로 만나지 않을 때

즉, 두 원의 중심 사이의 거리가 두 원의 반지름의 합보다 크거나 같을 때이다.
이때에는 두 원이 겹치지 않으므로, 0.000을 출력해주면 된다.

2. 두 원이 서로 만날 때
이 경우 두 가지 경우로 나뉘게 된다.

2-1. 한 원이 다른 원에 완전히 들어갈 때
이 경우 작은 원의 넓이를 출력해준다.

2-2. 원과 원이 서로 겹칠 때 (일반적인 경우)
이 경우 겹치는 넓이를 출력해준다.

 

우리는 일반적인 경우를 살펴볼 것이다.

 

일반적인 경우

 

위의 그림을 보면, 우리는 원이 겹쳐지는 넓이를 두 원의 교점을 지나는 직선으로 이등분하여 구할 수 있다.

 

그림에서는 노란색 넓이와 파란색 넓이가 바로 그것이다.

 

노란색 넓이는 부채꼴 CAD의 넓이에서 삼각형 CAD의 넓이를 뺀 넓이와 같다.

 

노란색 넓이

 

따라서,

 

식 2. 노란색 넓이

 

비슷한 이유로, 파란색 부분의 넓이는 다음과 같다.

 

식 3. 파란색 넓이

 

따라서, 우리는 theta1과 theta2를 구하면 이 넓이를 구할 수 있다.

 

theta1과 theta2는 위의 제2코사인 법칙을 이용해서 구할 수 있다.(맨 위의 식을 참고하면 된다.)

 

식 4. (식 1을 참고하세요.)

 

따라서, 구한 theta1과 theta2를 위의 식 2와 식 3에 대입한 뒤, 식 2와 식 3을 합하면 답이 된다.

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아래는 내가 위의 접근 방식과 같이 작성한 파이썬 코드이다. 더보기를 누르면 확인할 수 있다.

# 7869번 두 원
# 수학, 기하학
from math import *
x1, y1, r1, x2, y2, r2 = map(float, input().split())
if (x1-x2)**2 + (y1-y2)**2 >= (r1+r2)**2:
    print('0.000')
else:
    d = dist((x1, y1),(x2, y2))
    if d + min(r1, r2) <= max(r1, r2):
        r = min(r1, r2)
        total = pi*r*r
    else:
        theta1 = 2*acos((r1*r1+d*d-r2*r2)/(2*r1*d))
        theta2 = 2*acos((r2*r2+d*d-r1*r1)/(2*r2*d))
        total = r1*r1*(theta1-sin(theta1))/2 + r2*r2*(theta2-sin(theta2))/2
    print(f'{round(total, 3):.3f}')